Зіткнувшись з невдачами у вивченні математики, школярі часто змиряються з простою думкою: цей предмет мені не під силу. Формули погано запам'ятовуються і не викликають особливого інтересу, процедура рахунку здається безцільною, а старання зводиться до одного-єдиного і не завжди мотивуючого результату - оцінки вчителя. Професор і дослідник зі Стенфорда Джо Боулер у книжці "Математичне мислення. Книга для батьків і вчителів "(переклад Наталії Яцюк, видавництво" Манн, Іванов і Фербер ") передбачає викладати математику інакше - в першу чергу як логіку - і розповідає, що потрібно робити школам, викладачам, вчителям, щоб поліпшити математичну освіту для всіх. пропонує своїм читачам ознайомитися з уривком з книги, в якому Боулер пояснює, чим корисні помилки і як навчитися ставитися до них правильно.
Сила помилок і труднощів
про викладання математики з орієнтацією на мислення росту разом зі студентами магістратури зі Стенфорда (Сарою Селлінг, Кеті Сан і Холлі Поуп), після того як директори каліфорнійських шкіл розповіли мені про те, що їхні вчителі прочитали книги Керол Дуек і повністю підтримують викладені там ідеї, але не знають, що все це означає для викладання математики. Перший семінар відбувся в кампусі Стенфордського університету, у світлому і просторому центрі Лі Ка-Шинга. Одна з найяскравіших фраз Керол Дуек вразила вчителів: «Кожен раз, коли учень робить помилку в математичному завданні, у нього з'являється новий синапс». Всі подумки ахнули. Адже мова йшла про силу і цінність помилок - хоча більшість учнів вважають, що помилки означають відсутність у них математичних здібностей або, того гірше, відсутність інтелекту. Багато вчителів роками говорили учням, як корисні помилки: вони свідчать про те, що ми вчимося. Але нові дані про мозок і помилки вказують на щось набагато більш важливе.
Психолог Джейсон Мозер зі своєю групою вивчив нейронні процеси в мозку людини в момент вчинення помилки (Moser et al., 2011). Вони виявили щось дивовижне. Мозок може відреагувати на помилку двома способами. Відповідна реакція першого типу під назвою «викликаний помилкою негативний імпульс» (error-related negativity, ERN) - підвищена електрична активність при конфлікті між правильною відповіддю і невірною. І така активність виникає незалежно від того, чи знає людина про помилку. Відповідна реакція другого типу під назвою «викликаний помилкою позитивний імпульс» (positivity error, Pe) - сигнал, що відображає усвідомлену увагу до помилок. Така реакція має місце, коли людина знає, що зробила помилку, і приділяє їй усвідомлену увагу.
Коли я сказала вчителям, що помилки активують мозок і стимулюють його зростання, вони відреагували так: «Звичайно, тільки за умови, що учні виправляють помилку, а потім продовжують вирішувати завдання». Але насправді це не так. Результати досліджень свідчать про те, що мозок активізується незалежно від того, чи знаємо ми про помилку. Коли вчителі запитують мене, як це можливо, я кажу, що поки краще пояснення таке: мозок активізується і зростає, коли ми робимо помилки, адже в цей час він напружено працює.
Під час дослідження Мозер з колегами проаналізували мислення людей і зіставили різні його типи з реакцією ERN і Pe при помилкових відповідях на поставлені питання. Вчені зробили два важливих висновки. По-перше, електрична активність мозку учнів у разі реакцій ERN і Pe була вищою, коли вони робили помилки, ніж коли давали правильні відповіді. По-друге, в разі помилок активність мозку учасників з мисленням росту виявилася вище активності мозку учасників з фіксованим мисленням.
Дуже важливо те, що наш мозок реагує на помилки підвищеною активністю. Детальніше про це трохи пізніше.
Дослідження також показало, що люди з мисленням росту краще обізнані про помилки, ніж люди з фіксованим мисленням, тому частіше виправляють свої промахи. Це узгоджується з результатами інших досліджень (Mangels, Butterfield, Lamb, Good, & Dweck, 2006), які продемонстрували, що в учнів з мисленням росту проявляються посилена реакція мозку і увага до помилок. Всі учні реагували на помилки збудженням синапсів, але у людей з мисленням росту мозок частіше починав активну роботу, показуючи обізнаність про помилку.
Результати неврологічних досліджень головного мозку і помилок вкрай важливі для нас, вчителів математики і батьків. Вони свідчать, що помилки корисні. Коли ми їх робимо (навіть якщо самі того не усвідомлюємо), наш мозок активізується і росте; до того ж ми вчимося. Це важливо, оскільки діти і дорослі в усьому світі часто відчувають вкрай негативні емоції, коли помиляються у вирішенні математичних завдань: адже вони виховувалися в культурі досягнень (див. Boaler, 2014b), де помилки не цінують або того гірше - за них карають. На жаль, багато завдань для роботи в класі складені так, щоб учні змогли без проблем виконати їх правильно. Але насправді необхідно, щоб учні робили помилки. Трохи нижче представлені математичні завдання, які захоплюють учнів і сприяють зростанню їх мозку, і сигнали, які повинні подавати при цьому вчителі та батьки.
У країнах з найвищим рівнем знань з математики (наприклад, у Китаї) підхід до помилок зовсім інший. Нещодавно я спостерігала за уроком математики в Шанхаї - китайському місті, де учні демонструють найвищі результати в країні і в світі. Учитель давав учням серйозні концептуальні завдання, а потім влаштовував опитування. Поки учні з задоволенням розповідали про виконану роботу, перекладач шепнув мені, що вчитель вибирає дітей, які зробили помилки. Ті з гордістю розповідали про помилки, оскільки вчитель надає їм великого значення. У розділі 9 дано опис короткого і дуже цікавого епізоду одного з уроків у Китаї.
Різні наукові дослідження не тільки демонструють цінність помилок для кожного, а й показують, що учням з мисленням росту властива більш висока активність мозку, пов'язана з виявленням помилок, ніж учням з фіксованим мисленням. І саме тому мислення росту так корисне для вивчення математики та інших предметів.
Дослідження Мозера, яке показало, що в разі помилок в учасників з мисленням росту активність мозку вища, ніж в учасників з фіксованим мисленням, дозволяє зробити ще один важливий висновок. Виходить, що наші уявлення про себе (зокрема, віра в свої сили) змінюють роботу мозку. Якщо ми віримо, що можемо вчитися і помилки важливі, наш мозок розвивається активніше, коли ми їх робимо. Ось чому потрібно вірити в себе, особливо коли перед нами постають складні завдання.
Помилки в нашому житті
Дослідження успішних і невдачливих бізнесменів дали несподіваний результат: їх характеризує кількість не успіхів, а помилок. Так, більш успішні люди роблять більше помилок. Starbucks - одна з найбільш іменитих компаній у світі, а її засновник Говард Шульц - один з найуспішніших підприємців сучасності. Коли він створив компанію, що пізніше стала Starbucks, він використовував як модель італійські кафе. У США в той час було не так вже й багато кафе, а Шульц захоплювався італійськими закладами. У перших кафе Шульца каву подавали офіціанти в метеликах, в яких їм було не по собі; поки клієнти пили каву, в залі звучала оперна музика. У США клієнти не дуже добре сприйняли цей антураж, і команда Шульца почала все з нуля і зробила ще багато помилок, перш ніж у підсумку був створений бренд Starbucks.
Журналіст New York Times Пітер Сімс написав багато робіт про роль помилок у формуванні творчого підприємницького мислення (Sims, 2011). Він зазначає: "Недосконалість - частина будь-якого творчого процесу і життя, хоча чомусь ми живемо в культурі, для якої характерний паралізуючий страх перед невдачею, що заважає діяти і підсилює перфекціонізм. Саме такий образ думок позбавляє віри в себе, якщо людина прагне стати більш винахідливою і заповзятливою ".
Крім того, Пітер Сімс перераховує основні звички успішних людей, стверджуючи, що всі вони роблять наступне.
- Почуваються комфортно, коли помиляються.
- Намагаються реалізувати на перший погляд шалені ідеї.
- Відкриті різним типам досвіду.
- Грають з ідеями, не даючи оцінок.
- Готові виступити проти традиційних уявлень.
- Не здаються перед обличчям труднощів.
У вивченні математики ці звички не менш важливі, ніж у житті. Але, як це не дивно, вони не застосовуються на уроках математики і під час виконання домашніх завдань з цього предмета. Необхідно, щоб учні почувалися вільно, сміливо пробували різні ідеї і не боялися помилок, дотримувалися відкритого підходу до вивчення математики і були готові грати із завданнями, намагаючись реалізувати «на перший погляд шалені ідеї» (див. розділ 5). Потрібно, щоб учні виступили проти традиційних уявлень, відкинувши ідею про те, що одні люди можуть займатися математикою, а інші ні. Безумовно, необхідно, щоб учні не здавалися, коли завдання з математики виявляється важким і вони не відразу знаходять рішення.
Як змінити ставлення до помилок?
Один з найефективніших кроків, які можуть зробити вчителі і батьки, - зміна зворотного зв'язку про помилки і неправильні відповіді в математиці. Нещодавно я отримала дуже зворушливе відео від вчителя, який пройшов мій онлайн-курс і почав навчальний рік з того, що розповів на заняттях для відстаючих учнів про важливість і цінність помилок. За рік діти повністю змінилися; вони зробили висновки з минулих невдач і знову приступили до вивчення математики, але вже з позитивним настроєм. Цей учитель надіслав відео, де учні розповідають про те, що сигнал про зростання мозку під впливом помилок змінив для них все. За словами цих дітей, раніше вони вважали себе невдахами, і це заважало їм досягати успіху. У роботі новий вчитель використовував такі сигнали і методи викладання, під впливом яких вони залишили в минулому багаторічний страх перед математикою і почали вивчати цей предмет з новим завзяттям. Коли ми говоримо учням, що помилки корисні, вони ніби звільняються від тяжкого вантажу.
У рамках свого онлайн-курсу для вчителів і батьків я поділилася зі слухачами новою інформацією про помилки і поставила їм цікаве завдання: придумати гру, яка змінить ставлення учнів до помилок у класі та вдома. Одна вчителька розповіла про свій метод: на самому початку уроку вона просить учнів зім'яти аркуш паперу і кинути його в бік дошки з тим почуттям, яке вони відчувають, коли роблять помилки в завданнях з математики. Учні дають вихід своїм емоціям (зазвичай розчаруванню), жбурляючи зім'яті аркуші паперу в дошку. Потім вчителька пропонує дітям підняти аркуші, розрівняти їх і кольоровими маркерами розмалювати складки, що утворилися на папері, які уособлюють зростання їх мозку. І потім зберігати ці аркуші у своїх папках весь навчальний рік як нагадування про важливість помилок.
Кілька років тому я почала працювати з Кім Холліуелл - чудовою вчителькою, що входить до групи з об'єднаного шкільного округу Віста, з якою я тісно співпрацювала протягом двох років. У 2015 році я побувала в класі Кім і побачила, що всі стіни обвішані чудовими малюнками, на яких учні зобразили свій мозок і написали позитивні висловлювання про зростання мозку і про помилки. Кім розповіла мені, що попросила учнів вибрати улюблені висловлювання про зростання мозку з усіх, які вони разом переглянули, і написати їх на зображеннях свого мозку.
Ще одна стратегія, що підкреслює важливість помилок, - запропонувати учням скласти свою роботу в будь-якому вигляді, навіть тест (хоча чим рідше ми перевіряємо рівень знань учнів, тим краще; детальніше див. розділ 8). Після цього вчителі виділяють «улюблені помилки». Вони повинні пояснити учням, що шукають свої найчастіші помилки (серйозні, а не числові похибки). Потім діти можуть розповісти про ці помилки на уроці і почати в класі обговорення: чому це помилки і чим вони обумовлені. У цей момент доцільно підкріпити важливі сигнали - зокрема, сказати учню, що помилка принесла йому користь, оскільки в цей момент він напружено розмірковував, що призвело до активізації і зростання його мозку. Крім того, корисно розповідати про помилки і обговорювати їх. Якщо один учень робить помилку, ми знаємо, що інші теж можуть її допустити; тому можливість проаналізувати помилку приносить користь всім.
Якщо ставити учням оцінки за виконання завдань з математики (марна практика, про яку ми поговоримо пізніше), а також знижувати бали за помилки, вони отримують вкрай негативний сигнал про помилки і вивчення математики. Щоб розвивати в учнів мислення зросту і давати їм позитивний зворотний зв'язок, вчителі повинні звести до мінімуму тестування та оцінку рівня знань учнів (див. розділ 8). Якщо вчителі продовжують проводити тести та оцінювати рівень знань учнів, їм слід ставити такі ж (якщо не вищі) оцінки за помилки. Це буде хороший сигнал про те, що помилка - відмінна можливість для навчання і зростання мозку.
Дуже важливо підкреслювати цінність помилок під час уроку, у присутності всіх учнів. Але вчителям необхідно також давати позитивний зворотний зв'язок про помилки під час взаємодії з учнями один на один. У перші роки навчання в школі моя дочка отримала від вчителів сигнали, які завдали їй величезної шкоди і через які у неї в ранньому віці сформувалося фіксоване мислення. У чотири-п'ять років у неї були проблеми зі слухом (про що ми тоді не знали). Через це вчителі вирішили, що у неї обмежені здібності, і давали їй тільки легкі завдання. Моя дочка повністю усвідомлювала це; коли їй було всього чотири, вона запитувала мене, чому іншим дітям дають більш складні завдання. Ми знаємо, що учні витрачають у школі багато часу на те, щоб зрозуміти, що про них думають вчителі. Моя дочка змогла визначити, що її вчителі не дуже високої думки про неї, тому переконала себе в тому, що вона дурна. Зараз їй дванадцять, вона стала зовсім іншою людиною і полюбила математику, оскільки вже провчилася три роки в чудовій школі, де відразу ж визначили, що у неї фіксоване мислення, і зрозуміли, що це стримує її розвиток.
Коли моя дочка вчилася в четвертому класі і все ще страждала від фіксованого мислення, ми з нею побували на уроці математики в третьому класі її школи. Вчителька записала на дошці два числові завдання; моя дочка одну вирішила правильно, а іншу неправильно. Виявивши помилку, вона відреагувала досить болісно, заявивши, що у неї зовсім погано з математикою і вона навіть слабкіше третьокласників. У цей момент потрібно було сказати їй щось дуже відверте і важливе. Я заявила: "Знаєш, що зараз сталося? Коли ти вирішила завдання неправильно, твій мозок виріс, а коли ти отримала правильну відповідь, у твоєму мозку нічого не сталося ". Саме так вчителям варто взаємодіяти зі своїми учнями, які роблять помилки. Дочка поглянула на мене широко розпахнутими очима - і я зрозуміла, що для неї це була дуже важлива думка. Зараз вона переходить у шостий клас, і вона стала зовсім іншою: позитивно сприймає помилки і позитивно ставиться до себе. Це стало можливо не тому, що їй давали більше завдань з математики або іншої роботи, а завдяки тому, що її вчили розвивати мислення росту.
У 1930-ті роки швейцарський психолог Жан Піаже, один з найбільших фахівців світу, відкинув ідею про те, що суть навчання зводиться до запам'ятовування. Він відзначав, що справжнє навчання залежить від розуміння того, як ідеї узгоджуються один з одним. Піаже припустив, що в учнів є ментальні моделі, що визначають спосіб зведення ідей воєдино, а коли вони набувають для учнів певного сенсу, виникає те, що психолог назвав «рівновагою» (див., наприклад, Piaget, 1958, 1970). Стикаючись з новими ідеями, учні намагаються привести їх у відповідність з наявними ментальними моделями. Але якщо нові ідеї не вписуються в існуючі моделі або ці моделі необхідно змінити, учні приходять у стан, який Піаже позначав терміном «відсутність рівноваги». У такому стані людина знає, що нову інформацію не можна включити в його моделі навчання; але її не можна і відкинути, оскільки вона має сенс. І тоді людина намагається скорегувати свої моделі. На перший погляд може здатися, що відсутність рівноваги викликає дискомфорт. Але, на думку Піаже, саме воно дарує справжню мудрість. Психолог представив навчання як процес переходу від рівноваги, в якому все пов'язано воєдино, до відсутності цього, коли нова ідея не узгоджується з існуючими моделями, а потім знову до стану рівноваги. Піаже стверджує, що цей процес вкрай важливий у навчанні (Haack, 2011).
На чолі 4 розглядаються практика в математиці та типи практичних завдань, одні з яких приносять користь, а інші ні. І я підкреслюю, що одна з проблем нинішньої математичної освіти полягає в тому, що учнів знайомлять з одноманітними і простими концепціями, що не дозволяють їм перейти до відсутності рівноваги. Ми знаємо, що людям з високою терпимістю до невизначеності легше переходити від відсутності рівноваги до рівноваги - і тому ми повинні частіше ставити учнів в умови невизначеності та ризику.
Детальніше читайте: . Математичне мислення. Книга для батьків і вчителів/Джо Боулер; переклад з англійської Наталії Яцюк. - М.: Манн, Іванов і Фербер, 2019. - 352 с.