За допомогою акуратного чисельного моделювання китайські математики виявили більше шестисот нових типів періодичних орбіт в завданні трьох тіл (всього знайдено 695 типів, з них 25 було відомо раніше). Стаття опублікована в журналі.
Знамените завдання трьох тіл було сформульовано Ньютоном ще наприкінці сімнадцятого століття. На перший погляд, вона не дуже складна: у ній всього лише потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом Ньютона. Однак насправді це завдання в загальному випадку не має аналітичних рішень (тобто систему диференційних рівнянь, що описують її, не можна звести до інтегрованої). Взагалі кажучи, завдання трьох тіл являє собою найпростіший приклад системи з динамічним хаосом.
Проте, незважаючи на те, що вирішення завдання в загальному вигляді знайти не можна, можна шукати її приватні рішення. Протягом трьохсот років було відомо тільки три види періодичних орбіт: сімейство траєкторій Ейлера-Лагранжа, сімейство Бруке-Хено-Хаджидеметріу і вісімка Мура. У 2013 році двоє сербських математиків за допомогою чисельного моделювання виявили одинадцять нових сімейств замкнутих траєкторій у плоскому завданні трьох тіл з однаковими масами і моментами імпульсу. Їх стійкість досліджували пізніше автори цієї статті. У 2015 інший сербський математик повідомила про відкриття ще чотирнадцяти типів орбіт.
Нові періодичні траєкторії китайські математики також шукали чисельно, за допомогою розробленого ними методу «чистого чисельного моделювання» (Clean Numerical Simulation). Для цього вони розглядали початкові конфігурації трьох тіл однакової маси, що утворюють рівнобедрений трикутник, і задавали їм різні початкові швидкості. Значення проекцій швидкостей могли змінюватися від нуля до одного з кроком 0,001. Загальний час руху системи становив до 100 відносних одиниць. Потім система диференційних рівнянь інтегрувалася за допомогою програми, заснованої на явному методі Рунге-Кутти з змінним кроком у часі.
Щоб знайти періодичні орбіти, вчені трохи ворушили початкові положення тіл і дивилися, наскільки точно вони повертаються у вихідне положення через період. Математики вважали, що траєкторія періодична, якщо величина відповідної функції відхилення становила менше 10-6. Початкові положення, що відповідають цікавим траєкторіям, визначалися за допомогою методу Ньютона, а потім відповідні орбіти були апроксимовані багаточленами Тейлора з точністю до 10-70, що гарантувало їх періодичність.
Таким чином вченим вдалося отримати 137 типів періодичних орбіт, включаючи 10 типів, відкритих двома сербськими математиками. Цікаво, що одна з відкритих раніше орбіт не була відтворена на цьому етапі, але автори відзначають, що це цілком природно через велику чутливість руху системи до початкових умов. Потім математики застосували розроблений метод для більших часів руху (до = 200) і менших кроків для проекцій швидкостей (до ^ = 0.0025). Зрештою, це дозволило виявити 695 сімейств періодичних траєкторій, включаючи всі відомі раніше.
Отримані типи математики класифікували. Також вчені встановили, що для періодичних орбіт справедливий приблизний закон, схожий на звичайний закон Кеплера. Відповідно до цього закону, твір середнього періоду руху тіла по орбіті та його енергії, зведеної в ступінь 3/2, дорівнює константі, що становить близько 2,433 одиниць вимірювання.
В даний час авторами статті вже випущений препринт нової роботи, що продовжує даний напрямок досліджень. У ньому математики розглянули різні маси для третього тіла і знайшли ще 1223 періодичних рішення завдання трьох тіл.
Детальну галерею траєкторій з роботи сербських математиків можна знайти на сайті Мілована Шувакова. Автори цієї статті також виклали галерею знайдених орбіт на сайт.