У країні, де людський зріст вимірюють у футах, відстань до сусіднього міста вважають в милях, а паливо в бак ллють галонами, чиновники виписують довідки на папері формату Letter. Американський «офіційний» лист коротший від звичного міжнародного А4 на 18 мм. Якби не ця різниця, можливо, ми б досі не знали про флексагони - захоплюючу іграшку, головоломку і цікаву математичну модель, відкриту в першій половині XX століття.
Наприкінці 1930-х років англієць Артур Стоун, двадцятитрирічний аспірант-математик, тільки починав свою блискучу кар'єру в Прінстонському університеті, штат Нью-Джерсі. Серед інших американських «дивацтв», до яких йому ще належало звикнути, був і незвичайний стандарт Letter. Якось раз, обрізаючи аркуші А4 під новий формат, він почав машинально складати з обрізків різні фігури. Склавши смужку паперу в трьох місцях під кутом 60 градусів, він отримав рівносторонній шестикутник - залишалося тільки обрізати кінці за формою останньої межі. Склеївши кінці смужки, Стоун отримав фігуру з досить цікавими властивостями: підгинаючи один з кутів шестикутника до центру, можна було розкрити його, подібно бутону квітки. Після кожного чергового розкриття на світ з'являлася нова поверхня, що складається з шести трикутників, а попередні шість трикутників ховалися всередині конструкції. Можна було пофарбувати кожну поверхню певною фарбою, і тоді з кожним переворотом фігура приймала один з трьох кольорів.
Стоуну відразу ж прийшла в голову думка, що можна скласти і більш складний шестикутник, всередині якого ховається більша кількість прихованих поверхонь. Він переспав ніч з цією ідеєю і переконався в правильності своєї здогадки, побудувавши фігуру з шістьма поверхнями, що чергуються. Відчувши, що за загадковим шестикутником ховається цікава математична теорія, Стоун продемонстрував свій виріб друзям. Серед них були фізик Річард Фейнман, математик Браянт Таккерман і Джон Тьюкі, якому деякі джерела приписують авторство слова «біт» (binary digit). Майбутні світила науки збиралися разом у студентській їдальні і демонстрували один одному нові головоломки, які їм вдавалося зібрати.
1. Щоб розкрити флексагон, спаліть два сусідні трикутники, притисніть до них протилежний край і розкрийте фігуру з центру. 2. Щоб пройти «шляхом Таккермана», розкривайте фігуру, тримаючись за один кут, поки вона буде розкриватися. Потім послідовно переходьте до наступного кута.
Друзі назвали винайдену Стоуном фігуру флексагоном (від англійського flex - згинати). Шестикутні флексагони отримали назву гексафлексагонів. Ще одна чисельна приставка означала порядок флексагону, тобто число поверхонь, що чергуються. Зокрема, перша створена Артуром фігура виявилася тригексафлексагоном, а конструкція з шістьма поверхнями - гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман і Тьюкі жартома охрестили себе «Флексагонним комітетом» і всерйоз взялися за вивчення математичних основ «флексології». До 1940 року Фейнманом і Тьюкі була розроблена всеосяжна теорія флексагонів, яка дозволяла побудувати флексагон з будь-яким числом сторін і поверхонь усіма можливими способами. Повністю ця праця так і не була опублікована, хоча окремі її положення згодом були відкриті іншими вченими.
Тритетрафлексагон
Найперший флексагон з трьома поверхнями, винайдений Артуром Стоуном, складається з прямої смужки паперу, поділеного на 10 рівносторонніх трикутників (один служить для склейки).
Норовливий калейдоскоп
Класичний гексагексафлексагон можна скласти з прямої смужки паперу. Смугу слід розмітити на 19 рівносторонніх трикутників. Трикутники можна позначити цифрами з двох сторін у порядку, зазначеному на малюнку. Порожній трикутник на кожній стороні служить для склейки. Смужка складається таким чином, щоб трикутники з однаковими цифрами на зворотному боці накладалися один на одного. Коротку смужку перегинають у трьох місцях так, щоб вийшов шестикутник (точно так само складають зі стрічки найпростіший тригексафлексагон). Трикутник, позначений цифрою 1, перегинається через межу і приклеюється до порожнього трикутника. Флексагон готовий.
Кожна поверхня флексагону складається з шести трикутників. Щоб розкрити флексагон, необхідно взяти його двома пальцями за пару сусідніх трикутників і скласти їх по лінії згину. Другою рукою потрібно відігнути протилежну пару трикутників. Флексагон явить світові свою нову поверхню і заховає попередню. Граючи з фігурою, ви незабаром виявите, що деякі поверхні набагато важче визволити на свободу, ніж інші. Іноді ви будете блукати по замкнутому колу, натикаючись лише на знайому пару «облич» флексагону. Браянт Таккерман вивів найпростіший спосіб знаходження всіх поверхонь фігури, відомий як «шлях Таккермана». Просте правило дозволяє побачити всі поверхні гексагексафлексагону всього за 12 розкриттів. Слід брати флексагон за один і той же кут і відкривати його, поки він відкривається. Потім можна переходити до наступного кута за порядком.
Тетрафлексагон
Стоуну і компанії вдалося створити повну і всеосяжну теорію гексафлексагонів. Як не дивно, квадратні тетрафлексагони, які виглядають куди простіше шестикутних побратимів, виявилися куди більш загадковими з точки зору математики. Всі таємниці чотирикутних головоломок «Флексагонному комітету» розгадати так і не вдалося. Найпростіший представник цього сімейства - тритетрафлексагон - можна легко скласти зі смуги паперу, що складається з шести квадратів. Досить скласти її в трьох місцях, як показано на малюнку, склеїти пару «двійок» - і флексагон готовий. До речі, винахід цієї фігури належить зовсім не Стоуну. Воно вже кілька століть відоме як шарнірне з'єднання подвійної дії - петля, яка дозволяє відкривати двері в будь-який бік (як тамбурні двері в залізничних вагонах). Тетратетрафлексагон можна часто зустріти в ролі головоломки або рекламного буклету. Це пов'язано з його особливою властивістю: одну з його поверхонь відшукати набагато складніше, ніж три інших. На цій властивості заснований старий фокус з «зникаючим» в надрах конструкції доларом. Рецепт тетрафлексагону: Темний колір позначає лицьовий бік вікна, світлий - зворотний. Крайні квадрати склеюються смужкою скотчу.
Різноманіття проявів гексагексагону зовсім не обмежується шістьма кольорами або шістьма цифрами, що позначають поверхні. Якщо нанести на трикутники більш хитромудру розмальовку, можна побачити, що кожен з них може змінювати орієнтацію всередині своєї поверхні. Позначимо кути кожного трикутника літерами A, B і C і прослідуємо «шляхом Таккермана». Ми побачимо, як в центрі одного і того ж шестикутника по черзі побуває кожна з букв. Це дає нам по три варіанти кожної поверхні. Разом для гексагексафлексагону ми маємо цілих 18 варіантів малюнка поверхні.