Фрактали відомі вже століття, добре вивчені і мають численні додатки в житті. Однак в основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченне за красою і різноманітністю безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання і масштабування.
Що спільного біля дерева, берега моря, хмари або кровоносних судин у нас в руці? На перший погляд може здатися, що всі ці об'єкти ніщо не об'єднує. Однак насправді існує одна властивість структури, притаманна всім перерахованим предметам: вони самопідібні. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять відростки поменше, від них - ще менші, і т. д., тобто гілка подібна до всього дерева. У цьому вони схожі на одні з найкрасивіших математичних об'єктів - фрактали.
Подібним же чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - найдрібніші капіляри, якими кисень надходить до органів і тканин. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки і півострова; поглянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам буде видно бухти і миси; тепер уявімо собі, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінчики, які далі видаються у воду, ніж інші. Тобто берегова лінія при збільшенні масштабу залишається схожою на саму себе. Цю властивість об'єктів американський (правда, математик Бенуа Мандельброт, який виріс у Франції) назвав фрактальністю, а самі такі об'єкти - фракталами (від латинського fractus - зламаний).
Які бувають фрактали?
Якщо подивитися на безліч фракталів, в них можна побачити безліч відмінностей. Ці відмінності спостерігаються не тільки у формі фігур, з яких складаються фрактали, але і в самій формі представлення цих безліч. Таким чином, розрізняють геометричні, алгебраїчні та стохастичні фрактали. Розповімо про кожен з них трохи детальніше.
Геометричні фрактали
Це найбільш звичний нам вид фракталів. Вони будуються на основі будь-якої геометричної фігури шляхом дроблення її частин і їх перетворення. Серед прикладів можна назвати L-системи. Спочатку вони були спроектовані для моделювання біологічних клітинних систем, але з таким же успіхом можуть бути застосовані і до інших гілкових систем.
Дерево Піфагора - один з найпростіших прикладів геометричних фракталів
Алгебраїчні фрактали
Алгебраичні фрактали будуються на основі математичних формул - їх можна перетворити на геометричні, якщо побудувати графіки на координатній площині. Серед алгебраїчних фракталів можна виділити фрактали Мандельброта, Жюліа і басейни Ньютона. Всі вони будуються на безлічі комплексних чисел, які складаються з дійсної і уявної частини. Просто фрактали Мандельброта і Жюліа будуються на основі квадратів комплексних чисел, а басейни Ньютона - на основі їх кубів.
Так виглядають басейни Ньютона - фрактали, побудовані на безлічі кубів комплексних чисел
Стохастичні фрактали
Цей вид фракталів будується на основі математичних формул, але в процесі побудови параметри в них випадковим чином змінюються. Це призводить до появи химерних форм, дуже схожих на природні. На відміну від геометричних і деяких алгебраїчних, стохастичні фрактали можна побудувати лише за допомогою комп'ютера.
Ілюстрація стохастичних фракталів. Як видно, вони можуть бути несиметричними і дуже химерними
Геометрія і алгебра
Вивчення фракталів на рубежі XIX і XX століть мало швидше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейерштрасс будує приклад безперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова була цілком абстрактною і важко для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох придумав безперервну криву, яка ніде не має дотичної, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фракталу. Один з варіантів цієї кривої носить назву «сніжинка Коха».
Що таке фрактал?
У цього поняття немає суворого визначення. Тому слово "фрактал" не є математичним терм "