Життя часом грає з людиною злий жарт: плани руйнуються під тиском обставин і випадковостей, які від нас ніби не залежать. У таких випадках кажуть, що все відбувається за «законом підлості». У книжці "Ймовірності й неприємності. Математика повсякденного життя "(видавництво" Манн, Іванов і Фербер ") кандидат фізико-математичних наук, популяризатор науки Сергій Самойленко шукає раціональне зерно і дає обґрунтування прикрим закономірностям. Автор вдається до теорії ймовірностей, а також суміжних розділів: теорії заходів, марківським ланцюгам, стохастичним процесам, теорії черг, динамічному хаосу та іншим. пропонує своїм читачам ознайомитися з уривком, в якому автор за допомогою розподілу Пуассона синтезує життя, повну неприємностей, виявляє закономірності в настанні поганих і хороших подій - і показує, як це впливає на настрій людини.
Синтезуємо лиходійку-долю
Настання подій, які ніяк не пов'язані між собою і відбуваються в часі випадково, описується за допомогою добре відомого. Він відповідає багатьом випадковим явищам - від землетрусів до приходу покупців у магазин.
Припустимо, виконані такі природні умови.
- Якщо є два відрізки часу [t 1, t 2] і [t 3, t 4], то число подій у першому відрізку не залежить від числа подій у другому (відсутність наслідки).
- Кількість подій, що відбулися на будь-якому відрізку часу, залежить тільки від довжини відрізка, але не його положення (стаціонарність).
- Ймовірність, що дві події відбуваються одночасно, зневажливо мала (ординарність). Тоді можна показати, що число подій, що потрапляють на відрізок довжини t, підпорядковується. Тобто ймовірність Pm того, що на цьому відрізку відбудеться подій, визначається так:
Число також називається інтенсивністю або щільністю потоку і має значення «середнього» числа спостережень. Наприклад, якщо вимірювати час у днях, значенням параметра - 1/7 відповідає ланцюжок випадкових подій, в середньому відбуваються раз на тиждень. Це зовсім не означає, що події відбуватимуться строго з раз на тиждень. Ніякої певної частоти у послідовності подій немає. Це середня кількість подій: оскільки в році 52 тижні, за рік має відбутися близько 52 подій (в середньому за багато років), але вони будуть розкидані в році нерівномірно. На малюнку 6.1 показано 52 випадкові рівномірно розподілені дати в році, які можна розглядати як моменти появи пуассонівських подій.
Як бачите, про будь-яку періодичність у цих подіях не йдеться: коли забажають, тоді і трапляться. Але і в цьому безладі статистика може нам показати певні закономірності. Наприклад, розподіл тривалості періодів між подіями, показаними на попередньому малюнку, буде зовсім не рівномірним (рис. 6.2).
Проміжки часу між сусідніми пуассонівськими подіями мають експоненціальний розподіл із щільністю. У цього розподілу максимум (мода) знаходиться в нулі, а середнє значення дорівнює 1/^, в нашому випадку 7 днів. Крім того, стандартне відхилення також дорівнює 7 дням, оскільки дисперсія експоненційного розподілу ^ 2 = 1/^ 2. Як бачите, ці характеристики зовсім не гарантують того, що між подіями буде проходити один тиждень. В середньому - так, але найчастіше менше; до того ж можуть спостерігатися і досить довгі проміжки без подій. Нарешті, медіана показує, що половина всіх проміжків матиме тривалість не більше 5 днів. Інтенсивність і частота - зовсім не одне і те ж; це дуже важливе зауваження, до якого ми ще повернемося в цій главі.
Для справедливості покладемо, що хороші і погані події відбуваються рівномовірно, але яскраві і значущі (як хороші, так і погані) - істотно рідше дрібних і незначних. Нехай це буде «звичайне» життя, в якому емоційне забарвлення подій підпорядковується нормальному (гаусівському) розподілу. Ось як може виглядати рік синтетичної долі у вигляді низки випадкових абсолютно незалежних життєвих перипетій (рис. 6.3).
Знак піків відображає емоційне забарвлення, а їх висота відповідає важливості події або глибині переживань, з ним пов'язаних. Поки ніяких смуг не спостерігається, є якийсь шум. Кожна подія проходить безслідно, нічого не залишаючи ні в пам'яті, ні в настрої. Так не буває, тому наділимо нашого модельного героя пам'яттю - для початку ідеальною. Кожне з буття нехай назавжди вріжеться в його пам'ять і відіб'ється на настрої, або покращуючи, або покращуючи його. Ось яку картинку ми можемо отримати, поспостерігавши за долею нашого героя протягом десяти років (рис. 6.4). Поточний «рівень щастя» обчислюється підсумовуванням вкладів всіх попередніх подій. Позитивні події цю суму збільшують, а негативні - зменшують.
Ну що ж, ми вже бачимо якесь чергування настрою, але картинка вийшла не особливо радісною. Наш герой після низки змін настрою впав у найглибшу депресію. Шкода. Спробуємо згенерувати ще кілька доль (рис. 6.5). Всі вони проходять низку світлих і темних смуг, але надовго пов'язають або в безпросвітній тузі, або в позамежному щасті. Так буває, звичайно, але це явно ненормально.
Цінність релаксації
Наші модельні долі ми описали дуже примітним процесом. Він називається і має ряд незвичайних властивостей, серед яких -, тобто відсутність будь-якого характерного часового масштабу. Отримавши в своє розпорядження необмежений час, випадкове блукання здатне відвести необмежено далеко. Більш того, воно обов'язково відведе вас на будь-яку наперед задану відстань від початкового значення! Таким чином, як би добре не йшли ваші справи, але якщо вони підпорядковані випадковому блуканню, то обов'язково скотяться до нуля і підуть нижче - це просто питання часу! Правда, якщо мова про суттєві відхилення, то дуже великого часу. Можна показати, що в розглянутому нами процесі очікувана величина відхилення від початкового стану пропорційна квадратному кореню від часу. Це означає, що очікуваний час, за який система, яка відхилилася від нуля, знову повернеться в нульовий стан, пропорційно квадрату початкового відхилення.
Пам'ятайте, як говорив кіт Матроскін у відомому мультфільмі «Канікули в Простоквашино»: "Я і так щасливий був, а тепер удвічі щасливішою стану. Тому що у мене дві корови є! " Таким чином, можна припустити, що народження теля (поява другої корови) продовжить щастя Матроскіна в чотири рази.
Але все ж ідеальна емоційна пам'ять - це не дуже добре. Наші герої не забувають нічого і ретельно зберігають у пам'яті все, навіть найдавніші події! На їхній настрій у старості впливає горе від поламаної іграшки в дитинстві або радість від поцілунку в юності. Причому всі наступні поцілунки та іграшки мають для них таку ж важливість. Треба цих бідолах рятувати. Емоції з часом стихають, горе притупляється, радість, на жаль, теж. Забування багато в чому подібне до остигання, дифузії або уповільнення руху у в'язкій рідині, тому розумно змоделювати його подібним чином. Перелічені події відносяться до, про які ми говорили в кінці глави 1. Наділимо ж і наших героїв здатністю до релаксації!
Релаксуюча система повертається до рівноважного стану, причому тим швидше, чим більше відхилення від рівноваги. Цю властивість можна змоделювати геометричною прогресією або експоненційним законом. Введемо в нашу модель новий параметр - швидкість забування . Його можна висловити через час (у відліках нашої моделі), за який рівень емоції зменшиться досить сильно. Наприклад, для = 1/60 емоційний слід від події зменшиться на порядок через два місяці. І ось тепер життя стало по-хорошому «смугастою» (рис. 6.6)!
Змінюючи «ступінь забудькуватості», ми можемо отримати більш-менш емоційно врівноважених піддослідних. Здається, ми знайшли джерело зеброподібності! Це, по-перше, випадкові блукання, схильні до розповзання в усі боки; по-друге, цілюща забудькуватість, що повертає настрій в норму. Результатом стає хвилеподібне меандрування * настрою.
* Меандр у математиці - замкнута крива без самопересічень, яка при цьому перетинає пряму кілька разів.
Вивчимо властивості отриманих нами «синтетичних» життєвих смуг. Побудуємо гістограму, що показує розподіл їх тривалостей для довжелезного життя (або безлічі звичайних) з параметрами ^ = 1/7, = 1/60 (рис. 6.7).
Перше, що впадає в очі, - максимум розподілу (мода) знаходиться поблизу нуля. Значить, найчастіше часи щастя і нещастя дуже короткі, проте зустрічаються і періоди тривалістю більше року. У середньому ж їх тривалість становить 33 дні зі стандартним відхиленням у 36 днів. Це розподіл близько до експоненційного (насправді воно непогано описується більш загальним з такими параметрами, які наближають його до експоненційного). У свою чергу, експоненціальний розподіл тривалостей смуг у житті означає, що зміни настроїв можна розглядати як пуассонівський потік - ланцюжок незалежних випадкових подій, що не мають певної частоти, але трапляються з деякою відомою інтенсивністю. Наприклад, у розглянутому нами прикладі темні і світлі смуги змінюються з інтенсивністю раз на 33 дні, але набагато частіше в житті спостерігаються короткі періоди: половина їх не довше десяти днів.
У разі відсутності «пам'яті» (для = 0) розподіл перестає бути експоненційно вбиваючим і описується, яке можна наблизити ступеневим чваром () для тривалості меандрів T (рис. 6.8).
Статистики кажуть, що у таких розподілів важкий хвіст, який робить цілком імовірними дуже великі відхилення від середнього значення. Ми спостерігали їх у вигляді довгих «занурень» в той чи інший настрій. У отриманого розподілу є одна незвична і дивна властивість: для нього не визначені ні середнє значення (математичне очікування), ні стандартне відхилення. У попередній главі ми вже згадували, що таке буває, наприклад, у розподілу Коші. Справа в тому, що всі відповідні інтеграли для розподілу Юла розходяться. У зв'язку з цим можна чути, що і середнє значення в такому випадку нескінченно, але це не так. Подивіться, що станеться при спробі обчислити математичне очікування тривалості меандрів випадкового блукання (рис. 6.9).
Величезні стрибки з важкого хвоста раз у раз збивають значення середнього, і послідовність усереднень не сходиться ні до якої межі. Значення середнього зовсім не нескінченно, але інтеграл не сходиться і про якесь конкретне значення говорити не можна. Саме в неможливості обчислити середню для тривалості меандрів відображається властивість самопідібності випадкового блукання, або відсутність власного масштабу часу.
Ми моделювали пристосовуваність до життєвих негараздів за допомогою релаксації - загасання емоційних сплесків. Можна витлумачити цей процес інакше - як пристосовування людини до життєвих обставин. При обробці зашумлених сигналів або послідовностей часто для згладжування і виділення корисного сигналу використовують, розглядаючи в кожен момент не сам сигнал, а усереднене його значення за деякий проміжок часу. Так вдається позбутися шуму і отримати подання