Математика Софію Василівну Ковалевську ми знаємо в основному як першу жінку - професора математики, яка викладала в європейському університеті. Але що вона зробила в науці? На честь 170-річчя Ковалівської математик Павло Бузин розповідає про те, як Ковалевська допомогла зрозуміти природу кілець Сатурна і довела теорему, яка отримала її ім'я.
Теорема Коші - Ковалевської
Найважливіша робота Ковалевської пов'язана з вирішенням систем диференційних рівнянь. Вона довела теорему (названу теоремою Коші - Ковалевської) про існування і єдність локального рішення системи диференційних рівнянь у приватних похідних.
Пояснимо суть теореми на прикладі. Диференційними рівняннями описуються всі динамічні (і не тільки) системи. Другий закон Ньютона, що пов'язує силу і прискорення об'єкта, дозволяє обчислити зміну швидкості і нове положення об'єкта в просторі.
Направимо вісь координат OX в напрямку дії сили і отримаємо найпростіший випадок - диференційне рівняння виду Fx = mdVx/dt, для якого значення швидкості V (t = 0) = V0 - початкова умова.
Без використання слідств з теореми Коші - Ковалевської ми не будемо впевнені, що змогли точно розрахувати нове положення об'єкта.
Спрощено суть теореми Коші - Ковалевської зводиться до того, що якщо в диференційному рівнянні коефіцієнти визначені і є аналітичними функціями (тобто уявні у вигляді сходженого степенного ряду Тейлора), а шукане рішення f (x) має відоме значення в якійсь точці X, то в області поруч з точкою X рішення f (x) існує і єдино.
Вимога аналітичності важлива, оскільки для цілого ряду функцій, наприклад виду y = 1/x в точці x = 0, існує розрив і наші розрахунки не дадуть точного результату.
Софія Ковалевська довела цю теорему через розкладання f (x) в степеневий ряд Тейлора. Наведемо основні етапи її доказу.
Наша система рівнянь для n функцій у приватних похідних у загальному вигляді:
Де i (x1, x2,... xn) - всі функції від аргументів x1, x2,... xn, які є вирішенням цієї системи.
Представимо їх у формі розкладання до лав Тейлора:
І підставимо в нашу систему. Після приведення подібних членів (з однаковими ступенями) ми отримуємо рішення:
Тепер функції i (x1, x2,... xn) визначаються однозначно цими рядками і початковими умовами. Єдність рішення випливає з умови схожості цих рядів. Тим самим було доведено існування рішення і його єдність.
Незважаючи на простоту ідеї, суворий доказ теореми зажадав точного опису всіх умов. Результатом цієї роботи стала дисертація Ковалевської - «До теорії диференційних рівнянь у приватних похідних» («Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen»).
Для XIX століття, коли обсяг накопичених знань в області диференційного обчислення був ще невеликий, це була помітна і важлива робота. У 1874 році Геттінгенський університет присвоїв Ковалевській ступінь доктора філософії.
Але важливо це для нас і сьогодні, тому рішення диференційних рівнянь з крайовим умовами безпосередньо застосовуються, наприклад, в наступних областях:
- опис руху об'єктів - від кидка каменю до руху зірок і польоту супутників до інших планет;
- рівняння, що описують закони гідрогазодинаміки, важливі для всієї авіації і не тільки;
- електромагнітні коливання і процеси, що лежать в основі всієї радіо- та електронної техніки;
- процеси теплообміну і теплопереноса, починаючи з обігріву будинків і вентиляції і закінчуючи процесами в турбінах теплових і атомних електростанцій;
- передбачення погоди і багато інших областей.
Особливого значення слідства теореми Коші - Ковалевської набули з розвитком численних методів. Оскільки комп'ютери вважають з обмеженою точністю, при розрахунках старші члени розкладання функцій в ряд Тейлора необхідно відкидати.
Доведене Ковалевською існування і єдність рішення дозволяють нам бути впевненими в точності отриманих результатів і коректно оцінювати похибки обчислень.
Кільця Сатурна
Результатом іншої наукової роботи Ковалевської стала відповідь на питання про форму (і устрій) кілець Сатурна.
Кільця Сатурна привертали увагу дослідників з моменту їх відкриття Галілеєм у 1610 році. Перша спроба успішного теоретичного опису феномена кілець була виконана П'єром Лапласом.
У 1785 році Лаплас довів, що кільця Сатурна не можуть бути єдиним цілим і повинні складатися з окремих кілець, що рухаються відносно один одного. Як одне з пояснень цього феномену Лаплас запропонував гіпотезу про те, що кільця можуть містити рідкі шари.
У 1859 році Джеймс Максвелл продемонстрував, що рідкі кільця також повинні розпадатися. Він висунув власне пояснення складу кілець - вони складаються з невеликих об'єктів, кожен з яких рухається самостійно по своїй траєкторії.
У 1885 році Ковалевська, знаючи про дослідження Максвелла, розвинула ідею Лапласа про кільця, що містять рідкі шари. Вона побудувала математичну модель вузького кільця еліптичної форми невеликої ширини.
Ковалевська розглядала сили, що діють на малу ділянку кільця d^, щоб знайти умови, при яких кожна ділянка кільця (включаючи ділянку d^) буде перебувати в рівновазі. Для цього треба було зробити розрахунок з урахуванням маси кільця.
Раніше цього ніхто не робив, але, незважаючи на величезну обчислювальну складність завдання, Ковалевській вдалося виконати розрахунки в першому наближенні за умови вузького кільця еліптичної форми.
Для цього їй довелося взяти інтеграл виду:
де V - це потенціал гравітаційних сил в точці d^, в якому є кутові координати всіх точок кільця, в 1 - координати елементів- ширина кільця, A, B, C і t - коефіцієнти, пов'язані з переведенням координат елементів кільця в полярні координати.
Сьогодні такі інтеграли можна вирахувати, але тільки з використанням комп'ютерів, а наприкінці XIX століття Ковалевській були доступні лише методи розкладання в ряди і приблизні обчислення.
Застосувавши розкладання функцій до лав і довівши швидку схожість рядів для вузького кільця, математик отримала можливість звести обчислення до роботи з функціями другого порядку.
З цієї роботи Ковалевська та її послідовники зробили важливі висновки.
По-перше, перстень може існувати в рівновазі тільки при єдиній комбінації суворого набору параметрів:
де - кутова швидкість обертання кільця, - щільність кільця, і - великі напівосі еліпсу в безрозмірних координатах. Якщо параметри відрізняються в будь-який бік - кільце руйнується.
По-друге, швидкість обертання кільця в кожній точці повинна збігатися зі швидкістю руху супутника планети в тій же точці.
По-третє, окремо Ковалевська досліджувала випадок, коли маса планети дорівнює нулю або дуже мала, і довела можливість існування кілець без планет. На жаль, виконати дослідження стійкості їй не вдалося, але пізніші дослідження довели, що такі кільця завжди нестійкі.
Нарешті, по-четверте, дослідження Ковалевської підтвердило ідеї Максвелла про те, що кільця не можуть бути рідкими або містити рідкі шари. Ідеї Максвелла про переважання в кільцях твердих частинок і об'єктів отримали визнання, а після польоту супутника до Сатурна це було підтверджено спостереженнями.
Так спільними зусиллями Лаплас, Максвелл і Ковалевська «на кінчику пера» з'ясували, з чого складаються і як влаштовані одні з найбільш загадкових об'єктів Сонячної системи - кільця Сатурна.