Ми публікуємо уривки і голови з науково-популярних новинок книжкового ринку. Прочитавши 1 _ 2 глави з тієї чи іншої книги, ви зможете зробити висновок, наскільки вона вам цікава, і вирішити, купити повну версію чи ні. Ми намагаємося відбирати найцікавіші книги і найцікавіші глави з них!
Сьогодні ділимося з вами головою з книги «Задоволення від х» Стівена Строгаца.
Поділ і його проблеми
Нам достатньо натуральних чисел 1, 2, 3 і т. д., якщо потрібно щось порахувати, скласти або перемножити. Але як тільки ми переходимо до віднімання, ми змушені створити новий вид числа - нуль, а також негативні числа. Цей розширений всесвіт чисел, що називаються цілими, так само замкнутий, як і натуральні числа, але він більш потужний, оскільки охоплює ще й результати операції віднімання *.
Нова криза настає при спробі виконати математичну операцію поділу. Поділ цілого числа без залишку не завжди можливий... якщо ми не розширимо всесвіт чисел ще раз, своєчасно винаходячи дроби. Дроби - це відношення цілих чисел, отже, їх математична назва - раціональні числа. На жаль, це те місце, де багато студентів б'ються головою об математичну стінку.
* Математики кажуть, що безліч натуральних чисел замкнуто щодо операцій додавання і множення, тобто результати цих операцій, здійснені над натуральними числами, теж будуть натуральними числами. Аналогічно безліч всіх цілих чисел замкнуто щодо операцій додавання, віднімання і множення. Прим. ред.
Є багато незрозумілих речей, пов'язаних з поділом і його наслідками, але, мабуть, найбільше виводить з себе існування безлічі різних способів, щоб описати частину цілого.
Розрізавши торт, прошарований шоколадом, рівно посередині на дві рівні частини, ви, швидше за все, скажете, що кожна частина дорівнює половині торта. Або можете висловити ту ж ідею дробом, що означає «1 з 2 рівних частин». (Коса риса між 1 і 2 візуально нагадує, що щось розрізали.) Третій спосіб вираження - сказати, що кожна частина становить 50% від цілого, що буквально означає «50 частин з 100». Всього цього було б вже достатньо, але є ще один варіант - представити ідею в десятковій системі обчислення і описати кожну частину як 0,5 від усього торта.
Така велика кількість вибору, можливо, стає причиною здивування, яке багато хто з нас відчуває, стикаючись з дробами, відсотками і десятковими дробами. Яскравим прикладом цього служить фільм «Моя ліва нога» (My Left Foot), справжня історія мужнього ірландського письменника, художника і поета Крісті Брауна. Він народився у великій робочій родині і страждав від церебрального паралічу, не міг говорити і контролювати свої кінцівки, крім лівої ноги. У дитинстві його часто називали розумово відсталим, особливо батько, який злився на сина і жорстоко з ним поводився.
У ключовій сцені фільму сім'я сидить за столом. Одна зі старших сестер Крісті робить домашнє завдання з математики, влаштувавшись поруч з батьком. Крісті, як завжди, сидить у кутку кімнати, крутячись на кріслі. Його сестра порушує тишу. «Що таке 25% від чверті?» - запитує вона. Батько обмірковує питання. "Двадцять п'ять відсотків від чверті? Ух-х-х... Дурне питання, га? У сенсі 25% - це і є чверть. Ви не можете мати чверть чверті ". Сестра відповідає: "Можемо. Крісті, хіба у тебе не так? " Батько хмикає: "Ха! Та що він знає?! "
Дійсно, уділ Крісті - намагатися захопити шматочок крейди пальцями лівої ноги. Притиснувши мілину до грифельної дошки, яка лежить на підлозі, хлопчик зумів начерпати каракуль, схожий на цифру 1, потім косу межу і ще щось незрозуміле. Це число 16, але задом наперед. Засмучений, він стирає п'ятою 6 і пробує знову, але цього разу міл рухається занадто далеко, перетинаючи 6 і перетворюючи її на щось незрозуміле. «Це просто якісь нервові загогуліни», - єхидничає батько, відвертаючись. Крісті закриває очі і відкидається, абсолютно знесилений.
Крім потужного драматичного впливу, ця сцена вражає принциповою жорсткістю батька. Незрозуміло, чому він так переконаний, що не можна мати чверть чверті? Можливо, він думає, що чверть можна взяти тільки від цілого або від чогось, що складається з чотирьох рівних частин. Але він не в змозі зрозуміти, що все ділиться на чотири рівні частини. У разі якщо об'єкт вже є чогось четвертю, його чотири рівні частини будуть виглядати наступним чином:
Фото
Оскільки ці 16 тонких ломтиків складуть цілий об'єкт, кожен ломтик, тобто 1/16 від цілого, і є відповіддю, яку Крісті намагався дряпати. Інший випадок такої ж психічної жорсткості, але в сучасному світі цифрових технологій, обійшов кілька років тому весь інтернет. Ображений клієнт на ім'я Джордж Ваккаро записав і розмістив у мережі свою телефонну розмову з двома співробітниками компанії Verizon Wireless. Ваккаро скаржився на те, що йому обіцяли стягувати плату за використання даних у розмірі 0,002 цента за кілобайт, але в отриманому рахунку він виявив, що з нього взяли за тарифом 0,002 долара за кілобайт (у 100 разів більше). Бесіда очолила рейтинг найкращих п'ятдесяти комедійних роликів.
Ось розмова, яка відбувається приблизно в середині запису між Ваккаро і Андреа, черговим менеджером компанії Verizon Wireless:
Чи визнаєте ви, що є різниця між одним доларом і одним центом? А. Безумовно. В. Ви згодні, що між половиною долара і половиною цента теж є різниця? А. Звичайно. В. Тоді ви напевно визнаєте і існування різниці між 0,002 долара і 0,002 цента? А. Нет В. Ні? О. Я маю на увазі, є різниця... але немає 0,002 долара.
Через кілька миттєвостей Андреа каже: "Очевидно, що долар можна уявити як" одну десяту і нуль, нуль ", правильно? Але, щоб «нуль, кома, нуль, нуль і два», так?.. Я ніколи не чув про 0,002 долара. Це просто неповний цент ".
Невміння перетворювати долари на центи - це тільки частина проблеми Андреа. Основна його біда в тому, що він не здатний уявити собі їх частини.
З особистого досвіду можу сказати, що так відбувається через омани щодо десяткових дробів. У восьмому класі міс Стентон почала вчити нас перетворювати звичайні дроби на десяткові. При поділі в стовпчик ми виявили, що деякі дроби можуть бути представлені у вигляді десяткових, закінчуються нулями. Наприклад, ^ = 0,2500... її можна переписати як 0,25, оскільки всі нулі праворуч не мають значення. Інші дроби при перетворенні дають десяткові дроби з повторюваними в кінці цифрами, як, наприклад (цифра 3 в періоді),
5/6 = 0,8333...
Моїм коханим був дріб 1/7; у ній при перетворенні на десятковий дріб повторювалися кожні шість цифр (шість цифр у періоді):
1/7 = 0,142857142857...
Подив виник, коли міс Стентон сказала, що якщо помножити на 3 обидві частини простої рівності
1/3 = 0,3333...,
то 1 повинна дорівнювати 0,9999...
Я заперечив, що це невірно. Неважливо, скільки дев'яток написала б вона, я міг би поставити стільки ж нулів після 1,0000... а потім, якщо відняти її число з мого, завжди залишалася б якась маленька різниця на зразок 0,0000... 01.
Так само як батько Крісті і представник Verizon, я не міг прийняти те, що мені тільки що довели. Я бачив, що це правильний логічний висновок, але відмовлявся його приймати. (Це може нагадати вам декого з ваших знайомих.)