Часто в кінці спортивних чемпіонатів ми спостерігаємо матчі, від яких нічого не залежить. Марко Фаелла і Луїджі Сауро з Неаполітанського університету імені Фрідріха II довели, що це не випадково. Виявляється, в будь-якому круговому турнірі з як мінімум п'ятьма учасниками знайдеться ні на що не впливаючий матч. Результат своїх досліджень Фаелла і Сауро оприлюднили на 17-й Міжнародній конференції з автономних агентів і багатоагентних систем і опублікували в підсумкових матеріалах конференції.
В останньому турі розіграшу Єдиної баскетбольної ліги ВТБ сезону 2017/2018 років відбувся матч «Нижній Новгород» - «Локомотив-Кубань» (92:86). Результат цього матчу ні на що не вплинув: якби він завершився з будь-яким іншим рахунком, то «Нижній Новгород» все одно залишився б на сьомому місці, а «Локомотив-Кубань» - на третьому. «Локомотив-Кубань» у разі перемоги не зміг би обійти команди, що стоять попереду. Щоб переконатися в цьому, достатньо подивитися на підсумкову турнірну таблицю Ліги без урахування цієї єдиної гри:
Такі матчі, як «Нижній Новгород» - «Локомотив-Кубань», Фаелла і Сауро називають. Очевидно, що організатори турніру хотіли б уникнути безглуздих матчів. Але чи можливо це зробити?
Вчені обмежуються розглядом видів спорту, в яких кожен матч закінчується перемогою однієї з команд (наприклад, до таких видів належать баскетбол і волейбол). Розглядаються змагання за круговою системою, тобто кожна команда грає з кожною по одному разу. Ранжування команд відбувається за кількістю перемог. Що стосується стимулів команд, то будемо вважати, що кожна команда хотіла б зайняти якомога більш високе місце.
У змаганні важливу роль відіграє календар, що визначає послідовність ігор. Зазвичай на практиці календар фіксується перед початком змагання. Припустимо, що всі ігри відбуваються послідовно (це припущення часто виконується: телебачення зацікавлене в тому, щоб ніякі ігри не перетиналися).
Турніром називається дерево, в якому кожна вершина відповідає матчу, кожне вихідне ребро відповідає одному з двох можливих результатів відповідного матчу, а кожен шлях від кореневої вершини до термінальної вершини визначає послідовність матчів і відповідає одному з варіантів повного заповнення турнірної таблиці. Розглянемо довільний матч М між командами і. Формально матч М називається для команди, якщо існує хоча б один варіант розвитку наступних за М матчів, при якому команда в разі перемоги і в разі поразки в матчі М опиниться на різних місцях за підсумками чемпіонату. Якщо матч не є значущим ні для однієї з граючих команд, то він називається. Турнір називається значущим в строгому (відповідно, слабкому) сенсі, якщо всі матчі турніру значущі для обох команд (відповідно, хоча б для однієї команди).
Якщо М - остання гра чемпіонату, то ми отримуємо ситуацію з матчу «Нижній Новгород» - «Локомотив-Кубань», описану вище. Якщо М - матч в середині турніру, то існує багато варіантів розвитку подій в матчах, що залишилися. Для безглуздості матчу М необхідно, щоб при будь-якому можливому розкладі в матчах, що залишилися матч М вже не міг би змінити місце граючих в матчі М команд.
Фаелла і Сауро доводять три основні результати. По-перше, автори роботи демонструють, що для будь-якого числа учасників турніру N-5 при фіксованому розкладі турнір буде містити безглузді матчі. Ідея побудови такого матчу проста. Розглянемо розвиток подій, при якому в останньому матчі турніру зустрічаються команди і, причому команда виграла, а команда програла всі попередні матчі. Крім того, припустимо, що всі інші команди обігравали один одного по колу так, що всі вони виграли приблизно половину матчів. Тоді команда незалежно від результату останнього матчу займе перше місце, а команда - останнє. Таким чином, матч між і буде безглуздим. А ось якщо N-4, то турнір буде значущим в суворому сенсі.
При цьому виявляється, і це другий важливий результат роботи, що можливість динамічно оновлюваного залежно від результатів ігор розкладу дозволяє домогтися того, що турнір буде значущим в слабкому сенсі (тобто кожна гра буде значущою принаймні для однієї з команд). Автори будують відповідний розклад турніру рекурсивним способом. Брак побудованого розкладу полягає в тому, що матчі команди можуть бути розподілені нерівномірно вздовж турнірної дистанції, тому втілити цей розклад в життя буде проблематично.
Чи існує динамічно оновлюваний розклад, який дозволяє отримати значущий турнір в суворому сенсі для довільного досить великого числа команд? Це питання залишається відкритим. Однак Фаелла і Сауро доводять, що якщо такий розклад і існує, то при N 6 він точно не буде збалансованим, тобто він не буде розбиватися на тури, в яких кожна команда проводить по одному матчу.