Книга «Математична складова» розповідає, як і випливає з назви, про математичну складову як звичних нам речей так і досягнень цивілізації. У кожної глави-розповіді свій автор. Серед них - без перебільшення - великі математики сучасності. Представляємо невеликий фрагмент, який називається «Математика інтернету» Андрія Райгородського. * * * Дивна назва, скаже читач, який проводить частину життя в інтернеті. Адже виникнення сайтів, їх наповнення контентом, встановлення зв'язків між ними (посилання) - все це відбувається стихійно, ніким явним чином не управляється. Але як і інші складні системи, що складаються з великого числа «вільних» елементів, інтернет стає середовищем, в цілому має стійкі властивості, що не залежать від безладу в дрібницях, і піддаються дослідженню математичними методами.
Будемо представляти інтернет у вигляді графа. Граф - це безліч точок (вершин графа), з'єднаних кінцевим числом дуг (ребер графа). Вершинами будемо вважати інтернет-сайти, а ребрами - гіперпосилання, що йдуть з одних сайтів на інші. Ребра цього графа - орієнтовані (в посиланнях важливо хто на кого посилається), деякі з них - кратні (кілька посилань з одного сайту на інший), є і петлі (посилання між сторінками одного і того ж сайту).
Побудований веб-граф - справжній монстр з мільярдами вершин і ребер. Цей граф постійно змінюється: додаються і зникають сайти, зникають і з'являються посилання. Але при всіх змінах, деякі властивості інтернету залишаються незмінними протягом всієї історії його дослідження. Ось кілька прикладів таких «стійких» властивостей. Веб-граф розріжний. У ньому лише в кілька разів більше ребер, ніж вершин. Здавалося б, дивна справа - можливі будь-які посилання, а ребер все одно мало. Незважаючи на розрідженість, інтернет-світ дуже тісний. А саме, від будь-якого сайту до будь-якого іншого можна за посиланнями перейти за 5-6 "" кліків "(знаменитий закон" шести рукостискань "). У веб-графі висока ймовірність того, що «сусіди» цієї вершини (сайти, пов'язані посиланнями з даними) самі пов'язані руба: «Мої знайомі знайомі між собою». Важлива характеристика вершини графа - її ступінь, тобто число вхідних і виходять ребер. Виявляється, що ступені вершин «правильно», тобто за певним законом, розподілені: частка вершин даного ступеня d пропорційна величині 1/d^, де ^ 2,3. У цій формулі є зрозуміле ядро - частка вершин великого ступеня d (сайтів з великою кількістю посилань) мала. Але є і дивовижна деталь - постійна порожня залежить від числа вершин веб-графа, тобто не змінюється в процесі розвитку інтернету. Цей ступеневий закон є універсальним для складних мереж - від біологічних до міжбанківських, хіба що для різних мереж величина - трохи різна.
Інтернет як ціле стійкий до випадкових атак на сайти. А саме, якщо знищення сайтів відбувається незалежно і з однаковою ймовірністю, то веб-граф з імовірністю, близькою до 1, зберігає «гігантську» зв'язкову компоненту. Ця компонента зберігається навіть при прицільній атаці на хаби - вершини найбільших ступенів - поки частка атакованих хабів не перевищить деяке критичне значення.
Для вивчення інтернету необхідно вміти будувати модель «випадкового графа», яка з високою ймовірністю володіє очікуваними властивостями реального інтернету. При цьому для практичних потреб, та й для суто математичних цілей, вкрай важливо, щоб модель не була надто складною. Це важке і привабливе завдання повністю не вирішене. Побудова хорошої математичної моделі інтернету відразу ж дає якісно нові інструменти для поліпшення інформаційного пошуку, виявлення спаму, прогнозування поширення інформації в соціальних мережах і в інтернеті в цілому. З іншого боку, математичні моделі інтернету виявляються досить схожими на моделі біологічних спільнот або моделі міжбанківської взаємодії. І хоча вивчення біологічних або фінансових спільнот почалося значно раніше, ніж з'явився інтернет, інтенсивність розвитку останнього і досягнення в його вивченні роблять вплив всіх цих моделей взаємно-благотворними. Тому математика інтернету затребувана і біологами (пред- сказання епідемій), і творцями ліків (бактеріальні спільноти, що живуть в організмі людини, теж схожі на інтернет), і фінансистами (ризики виникнення криз). Вивчення подібних систем - один з центральних розділів прикладної математики і невичерпне джерело нових завдань для всієї математики.