Іноді на перший погляд абсолютно абстрактні математичні теорії допомагають фізикам-теоретикам зрозуміти, як влаштований наш світ.
У рік закінчення Першої світової війни двоє німецьких математиків геттінгенської вишколу опублікували роботи, що мають величезне значення для теоретичної фізики. Одна з найбільш блискучих алгебраїстів XX століття Еммі Нетер представила докази двох знаменитих нині теорем, що пов'язують закони збереження різних величин (енергії, імпульсу, кутового моменту, заряду тощо) з симетріями рівнянь, що описують фізичну систему.
Ці теореми стали потужним і універсальним засобом виявлення подібних законів у ньютонівській і релятивістській механіках, теорії тяжіння, електродинаміці, квантової теорії поля і фізиці елементарних частинок.
Стаття Германа Вейля «Гравітація і електрика», опублікована не в Геттінгені, а в Берліні, відома набагато менше. Тим часом вона і її продовження, що вийшло роком пізніше, поклали початок надзвичайно ефективному підходу до конструювання теорій мікроміру, який сформувався вже в другій половині XX століття. З його допомогою була створена об'єднана теорія трьох фундаментальних взаємодій, сильної, слабкої та електромагнітної, яку назвали Стандартною моделлю.
Симетрія: глобальна і локальна. Комплексну хвильову функцію кожної квантової частинки можна представити у вигляді вектора, напрямок якого визначає фазу частинки. Глобальна симетрія означає, що якщо ми повернемо вектори всіх частинок, що заповнюють простір, в одному напрямку на однакову величину, закони фізики залишаться тими ж. Калібрувальна симетрія - це локальне перетворення - індивідуальний поворот фази кожної частинки.
Від сил до потенціалів
Як завжди і буває, у Вейля були попередники. На початку XIX століття роботи кількох математиків, насамперед Гаусса і Пуассона, перетворили математичний апарат ньютонівської теорії тяжіння. У новій інтерпретації вона постала як силове поле, що пронизує Всесвіт. Це поле стали описувати гравітаційним потенціалом - скалярною функцією, що залежить від просторових координат, але не від часу. При цьому сила тяжіння в будь-якій точці повністю визначається тим, наскільки різко змінюється поблизу неї цей потенціал (тобто його градієнтом).
Це нововведення збагатило математичний апарат небесної механіки та інших розділів фізики, де доводиться мати справу з тяжінням, але ввело в опис гравітації якусь невизначеність. У законі Ньютона фігурують сили тяжіння, які можна вимірювати безпосередньо, і визначаються вони однозначно (в обраній системі одиниць). А ось значення гравітаційного потенціалу можна змінити на будь-яку постійну величину - градієнт залишиться тим же. У ті часи це виглядало тривіальним наслідком математичного формалізму, що не має відношення до реальної фізики.
Відсікти все зайве
У калібрувальних теоріях існує дуже велика симетрія, яка неоднаково проявляє себе в різних точках простору і часу. Тому при математичному описі симетрій такого типу з'являються параметри, які залежать від просторово-часових координат. І ось виявляється, що існування калібрувальних симетрій накладає досить сильні обмеження на властивості об'єктів, які ці теорії описують
".Для прикладу візьмемо квантову електродинаміку, - пояснює академік Валерій Рубаков. - Електромагнітні взаємодії переносять частинки з одиничним спином - фотони. Спін фотона може бути орієнтований тільки в двох напрямках, уздовж або проти його руху. У першому випадку ми говоримо про праву поляризацію, у другому - про ліву. Але якщо будувати теорію фотонів чисто формально, ні про що не замислюючись, з'являться ще дві поляризації з нульовими проекціями спину на напрямок руху. Якщо таке допустити, теорія розсипеться, втратить самоузгодженість. А в теорії з правильно підібраною калібрувальною симетрією ця проблема не виникає, зайві поляризації звідти йдуть. Аналогічна ситуація має місце і в теорії глюонного поля, що переносить сильні взаємодії, і в теорії слабкої взаємодії, що переносить проміжні векторні бозони. Всі ці частинки мають одиничний спин, і у всіх виникають неприйнятні стани, які не зникають самі по собі, проте виганяються калібрувальною симетрією ".
Сторіччям пізніше таким же чином переписали класичну електродинаміку. У початковій формі вона була представлена рівняннями Максвелла, куди входять вимірювані на досвіді напруженості електричного і магнітного поля. Ці рівняння теж зручно виразити через потенціал, тільки більш складний, ніж у ньютонівської гравітації (крім скалярної частини, в нього входить вектор, що визначає величину магнітного поля).
Рівняння електродинаміки в такому записі виглядають дуже елегантно і природно вбудовуються в простір-час спеціальної теорії відносності. Однак вони стають неоднозначними, оскільки одному і тому ж полю можуть відповідати різні потенціали. Наприклад, до векторного потенціалу можна додати будь-який постійний вектор, а до скалярного - будь-яке число.
Більш того, ці добавки можуть змінюватися і в просторі, і в часі, лише б вони були правильно пов'язані один з одним, так що свавілля у виборі електромагнітних потенціалів істотно більше, ніж у разі ньютонівської гравітації. Фізики та математики початку минулого століття чудово бачили цю неоднозначність, але, як і попередники, не надавали їй особливого значення.
Калібрувальні перетворення
Ця властивість електромагнітних потенціалів має глибокий фізичний сенс. Їхні взаємні зміни компенсують один одного точно таким чином, щоб зберегти в колишньому вигляді рівняння Максвелла. Неоднозначність вибору фактично відображає нерозривний зв'язок між електрикою і магнетизмом.
Історія фізики пов'язана з постійним узагальненням і об'єднанням, здавалося б, досить далеких один від одного і ніяк не пов'язаних між собою явищ. Кожна стадія такої уніфікації являла собою значне досягнення теоретичної фізики, яке істотно полегшувало наше розуміння того, як влаштована природа.